¿Qué es?

  Es un movimiento periódico y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento y se aplica en la misma dirección pero con sentido opuesto.  Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un M.A.S.

  Otros autores lo describen como:
Una clase muy especial de movimiento que ocurre cuando la fuerza actúa sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición.

Elementos de un M.A.S

1. Oscilación: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella, pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo.
4. Período: tiempo en realizar una oscilación.
5. Frecuencia: número de oscilaciones realizadas en la unidad de tiempo (ciclo/seg=hertz).
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Cinemática del movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que   donde   es una constante positiva y   es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Dinámica del movimiento armónico simple

El cuerpo unido a un resorte que realiza un M.A.S, forma un sistema oscilante masa-resorte. Mientras el cuerpo oscila, está sometido a una fuerza recuperadora ejercida por el resorte que obedece a la Ley de Hooke, la cual explica que: el valor de la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de sentido contrario.

Mientras estiramos el resorte, la mano ejerce una fuerza de deformación sobre el resorte hacia la derecha, y el resorte ejerce una fuerza recuperadora sobre la masa hacia la izquierda.

Mientras la bola oscila pasa por estados de equilibrio en los que sobre ella actúa un F = 0 y le comunica a = 0

Al soltar la bola la fuerza recuperadora del resorte le comunica una aceleración que es proporcional a la elongación:a = - w² x

Esta fuerza recuperadora es de tipo conservativo y el trabajo realizado por ella se puede calcular mediante la expresión de la energía potencial, fórmula que contiene una única variable, la elongación. También podriamos hallar el trabajo con la formula F·x pero eso requiere conocer el valor de F en cada momento y halla la suma de F·x a lo largo del camino (integrar). Esto es más complicado que usar la Ep que sólo implica conocer los valores de x iniciales y finales y multiplicar por w2.

Curva de energía potencial

La función E_p=mω²x²/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre-A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = -A y x = A. Se obtiene entonces que,

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio 

Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple.

     Para deducir las fórmulas del movimiento armónico simple, se toma como apoyo el movimiento circular uniforme que origina el M.A.S, sobre uno de los diámetros, teniendo en cuenta que los dos movimientos tienen el mismo período (T) y que la amplitud del M.A.S, es igual al radio del MCU.
Los vectores  ,  , etc del movimiento circular uniforme se descompone en dos componentes perpendiculares; con el objeto de formar triángulos rectángulos, pues para cálculos posteriores, tanto en la semejanza de triángulos como la definición de las funciones trigonométricas facilitan mucho los cálculos. La única condición es que una de las componentes sea paralela a la trayectoria del M.A.S, pues esta componente es el vector correspondiente a dicho movimiento.

También es importante indicar desde donde se empieza a contar el inicio del movimiento, si desde el centro de la trayectoria o desde uno de los extremos. Si se estudia el M.A.S. contando a partir de un extremo de trayectoria y luego se estudia a partir del centro de la trayectoria encontrarás las fórmulas cambiadas, generalmente donde hay un coseno, encontrarás un seno y viceversa pues hay un desfase de 90º.

Las expresiones que definen el movimiento son: la posición (elongación), la velocidad y la aceleración. La aceleración varía constantemente por el movimiento de vaivén que hace que cambie su sentido constantemente. El módulo de la aceleración depende de la posición a = f( x).

La posición en el M.A.S.

    Una partícula P que se mueve en sentido contrario al de las agujas del reloj, con una rapidez lineal constante V sobre el borde de un círculo de centro 0 y de radio R, siendo la velocidad angular de la partícula w constante. Si en un momento to = 0 está en el punto Po, donde el radio vector en dicha posición tiene una abertura ao respecto al diámetro  (que coincide con la dirección del eje X), en un momento t diferente de cero estará en el punto P , para dicho momento el ángulo tiene el valor w.t. Se toma en consideración el punto P' , que es la proyección P sobre el diámetro . Conforme P se mueve en torno a la circunferencia, el punto P' se mueve con M.A.S, de acuerdo con lo establecido.

    En función de un sistema de coordenadas con el origen en O y con el eje X a lo largo del diámetro , la coordenada de este punto P' es:
x(t) = R.cos (w.t + ao ); Como R es igual a la amplitud A, ya que es la mayor elongación la anterior ecuación se puede escribir:

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la posición de la partícula en un tiempo t. Con un ao= 0º. 

La elongación es máxima cuando el móvil está en cualquiera de los extremos de la trayectoria y es nula cuando el móvil está en el centro. 

Cuando la fase aumenta en 2p desde su valor en el instante t, la partícula tiene de nuevo la misma posición que en el instante t puesto que cos ( 2 + 2p) = cos a. Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2p, la partícula realiza un ciclo completo.

La Velocidad en el M.A.S.

Sea , la velocidad de la partícula en el punto p, con MCU. Al descomponer dicha velocidad en sus componentes rectangulares se obtiene  y , la primera es la velocidad de P' a lo largo del diámetro  ; es decir, es la proyección de la velocidad de P en el diámetro . Por teorema de geometría vemos que el ángulo a formando por  y es igual al ángulo formado por  y (sus lados son perpendiculares entre sí), luego si fijas la atención en el triángulo formado por ,  y , por trigonometría se obtiene: V = . Sen a

Se sabe que la velocidad lineal  = w.R (R=A), pero la amplitud es igual al radio del círculo y que además a (w.t + ao) permite escribir la ecuación de la siguiente manera: V (t) = - w.A.sen(w.t + ao) la cual da la velocidad en función del tiempo V= f (t), para cualquier M.A.S y nos indica que el valor máximo de la velocidad ocurre cuando (w.t + ao) = 90º y esto sucede cuando la elongación es cero, es decir, cuando pasa por la posición de equilibrio. El signo (-) expresa el sentido del vector .

En efecto, cuando a pertenece al primero o segundo cuadrante, el vector estará dirigido en el sentido negativo del eje X. En cambio, cuando a pertenece al tercero o cuarto cuadrante, el vector  estará dirigido en el sentido positivo del eje X.

Dicha ecuación se puede escribir, en función del Período y de la frecuencia, de la manera siguiente:

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la velocidad de la partícula en un tiempo t. Con un ao= 0º.

En el centro de la trayectoria ( a= 90º y a = 270º) la velocidad es máxima y en los extremos de la trayectoria ( a = 0º y a = 180º), la velocidad es nula.

La velocidad también se puede expresar en función de la elongación:

La aceleración en el M.A.S.

Para deducir la ecuación de la aceleración a(t) se utiliza la proyección del movimiento circular en el diámetro .

Sea  la aceleración centrípeta de la partícula en el punto P con MCU al descomponer dicha aceleración en sus componentes rectangulares se obtiene  y , esta última es la aceleración de P' a lo largo del diámetro , o sea, la proyección de la aceleración de P en dicho diámetro. Se observa que el ángulo del vértice 0 es igual al ángulo formado por  y por alternos internos entre rectas paralelas permite deducir: a = . cos a

Como la aceleración centrípeta es  = w2.A y 

w.t + ao, resulta: a(t) = -w2. A.cos(w.t + ao) ; Pero como la partícula P' está dotada de M.A.S y A.cos(w.t + ao) y representa la elongación x(t) de la partícula P'. a(t) = -w2.x(t).

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la aceleración de la partícula en un tiempo t.

Con un ao= 0º. En los extremos de la trayectoria, la aceleración es máxima y en el centro es nula. . El M.A.S es un movimiento rectilíneo acelerado no uniformemente.

Al estudiar el M.A.S se considera que no existe fricción, luego la amplitud del movimiento oscilatorio se mantiene constante; pero en muchos sistemas reales las fuerzas disipativas (Fricción o rozamiento) retardan el movimiento y la amplitud disminuye gradualmente con el tiempo, hasta que el cuerpo llega al reposo. En tales condiciones el movimiento se denomina amortiguado. Así, una cuerda de violín deja de vibrar y un péndulo deja de oscilar.

Relación con el Movimiento Circular Uniforme

     Hay una conexión cercana entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme, (que es periódico pero no oscilatorio). El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme en cualquier diámetro. Para un mejor entendimiento del tema se debe comprobar que esa proyección ortogonal del movimiento circular uniforme (MCU) de una partícula sobre un plano vertical es un M.A.S. Esta proyección se logra utilizando una fuente luminosa sobre el MCU.

      En el M.A.S la aceleraciónde la partícula es proporcional a su desplazamiento desde su posición de equilibrio, y es de sentido contrario a su desplazamiento, es decir: Donde K es constante.

  El movimiento de la proyección ortogonal de la partícula en un plano vertical, el movimiento se sucede en un segmento de recta que coincide con el diámetro  de la circunferencia descrita. Para demostrar que el movimiento de dicha proyección ortogonal es un M.A.S. se tiene que probar que el cociente  es una constante para todos los valores de X.

     Sea V  la rapidez de la partícula y  la aceleración centrípeta, la cual está dirigida hacia el centro de la circunferencia de radio R.

     Se proyecta el movimiento de la partícula P sobre el diámetro , donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro.

     P' se mueve con movimiento oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo largo del diámetro , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación sobre el diámetro.

     Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P , su proyección ortogonal sobre el diámetro  determina igualmente la posición, velocidad y aceleración de P'.

     Observe que la aceleración centrípeta  se ha descompuesto en sus dos componentes rectangulares y  que como puede verse la segunda es paralela al diámetro .

La aceleración centrípeta en el MCU:

     Los triángulos OPP' y el formado por los vectores   y , los cuales son semejantes. ¿Por qué? Ambos son triángulos rectángulos y tiene un ángulo en común (Vértice P), luego, sus lados respectivos son proporcionales:                                                                                      

reemplazando  y despejando a, la aceleración de P´      

                  Como la rapidez (V) y el radio (R)

 son constante, el cociente. Por lo que la anterior ecuación es de la forma

              a = - k x      que indica que la aceleración  es la aceleración de P' es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él.

     Finalmente se puede expresar que el movimiento circular uniforme se puede considerar como una combinación de dos movimientos armónico simple.

Mecánica relativista y mecánica cuántica

     En mecánica relativista el análogo del movimiento armónico simple, es un movimiento en el que la fuerza es proporcional a la elongación pero debido a las peculiaridades de la teoría de la relatividad el movimiento resultante es sólo casi armónico, y no exactamente armónico. En mecánica cuántica no puede hablarse propiamente de trayectorias, pero existe también un análogo cuántico de dicho movimiento.

Mecánica relativista

     El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:2

Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de contorno  dada por:2

Donde:

Mecánica cuántica

     Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:

     Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:

y las funciones de onda asociadas son:

Donde   son los polinomios de Hermite.

Conceptos relacionados con el tema:

La cinemática: es la parte de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo) que significa mover.

La dinámica: es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema.